Задачи с монетами.

Многие боятся давать детям деньги в руки, но монетки – удобный счетный материал, они бывают разных размеров и цветов (не говоря уж о номинале), и детям нравится играть в такие взрослые игрушки. Поэтому удобно использовать их и при обучении счету, и в упражнениях на состав числа, и в примерах на сложение- вычитание. Мы, конечно, не призываем вас давать детям деньги надолго – только на время игры. Вместо настоящих монет можно при желании сделать бумажные или картонные.

Здесь мы даем для совсем простых заданий только общие схемы, а затем сразу переходим к задачам посложнее. При их решении не обязательно держать в руках деньги – вполне можно все делать в уме или обойтись карандашом и бумагой.

Уровень 1 – наброски заданий

• Сколько на столе монеток? А теперь кладем еще 2, сколько стало теперь?
• Каких монеток больше, желтых или белых ("золотых или серебряных" )? На сколько? (Этот вопрос на самом деле трудный, надо осознать – а не вызубрить! – идею откладывать монетки парами.)
• Написаны бумажки с цифрами, положить на каждую столько монеток, сколько написано.
• Игра в магазин: к игрушкам или карточкам с изображениями любых предметов прикладываем "ценники" – бумажки с написанными на них числами. Один из играющих – покупатель, другой – продавец. (В следующий раз можно поменяться ролями.) Деньги – настоящие монеты или тоже бумажки, на которых написан номинал. Эта игра обычно детям нравится, и можно возвращаться к ней много раз, постепенно увеличивая суммы и усложняя условия. Пусть дети научатся
  платить без сдачи, давать и требовать сдачу. Взрослый может время от времени
  "ошибаться".
• Набирать нужную сумму разными способами (без сдачи).
• Покупатель взял яблок на 37 рублей, а заплатил 100-рублевой купюрой. Сколько сдачи ему надо дать?

Уровень 2.

Задача 1. Набрать ровно 100 рублей ровно 37-ю монетами. Есть монеты номиналом
1 и 10 рублей.

Если получается – можно усложнить:

Задача 2. Нужно набрать ровно 100 рублей. Есть монеты номиналом 1 и 10 рублей. Сколькими монетами это можно сделать? Перечислить все возможные варианты.

Хорошо бы не просто перечислить, а придумать общее правило – какие числа годятся. (Т.е. – на взрослом языке – вывести общую формулу, описывающую допустимое количество монет.)

Задача 3. Есть монеты по 3 тугрика и по 5 тугриков. Набрать 36 тугриков 10-ю монетами.

Вопрос. Чем эта задача похожа на задачи про головы и хвосты? Придумайте задачу про головы и хвосты, которая решается так же, как эта.

Если дети эту задачу решают подбором, а Вы хотите добиться алгоритмического ("нормального" без подбора) решения – можно потребовать набрать, скажем, 436 тугриков 100 монетами. Да еще попросить сделать при решении как можно меньше арифметических действий.

Задача 4. А сколько всего способов набрать 36 тугриков? - это уже задача по комбинаторике.

Задача 5. Набрать 35 тугриков 10-ю монетами по 3 и по 5 тугриков невозможно – почему? как, не перебирая все варианты, доказать это?

В этой задаче используется один хитрый трюк, его удобно применять во многих – и очень разных – задачах, но додуматься до него в первый раз непросто. Если доказательство не придумывается, может помочь исследование:

Задача 6. В кассе лежит куча монет по 1, 3 и 5 рублей. Воришка не глядя хватает 10 монет и убегает. Сколько денег он мог украсть? Напишите все варианты.

Задача 7. Набрать 86 рублей ровно 16-ю монетами. Есть монеты 1,2,5,10 рублей.

Если сделать это не получается, можно поиграть в игру – кто ближе подойдет к требуемой сумме, используя ровно 16 монет. Или, наоборот, задача – набрать 86 рублей, затратив при этом число монет, как можно более близкое к 16. Если, наоборот, получилось сделать это несколькими способами (или если задачу решали несколько человек и нашли разные решения) – можно усложнить задачу:

Задача 8. (уровень 3) Найти все способы, как можно набрать 86 рублей ровно 16-ю монетами. Есть монеты 1,2,5,10 рублей.

Задача промежуточной сложности будет выглядеть так:

Задача 9. Набрать ровно 86 рублей ровно 16-ю монетами номиналом 1,2,5 и 10 рублей, используя при этом как можно меньше 10-рублевых. А как можно больше 10 - рублевых? А можно ли набрать так, чтоб было поровну пяти-рублевых и 10-рублевых?

Числа, использованные здесь, конечно, условны, можно брать и другие. Не всегда, правда, задача будет иметь решение, но и это не беда – в таком случае нужно доказать, что решения нет. Можно устроить игру: загадывать друг другу сумму и количество монет. Конечно, хорошо бы в итоге решения всех этих задач перейти от подбора к решению, то есть выработать план действий в более или менее общем случае.

Задача 10. Доказать, что, имея монеты номиналом 2 и 3 рубля, можно набрать любое (целое) количество рублей, большее 2р.

Задача 11. Доказать, что, имея монеты номиналом 2 и 5 рублей, можно набрать любую сумму начиная с 4 рублей.

Задача 12. Есть монеты по 4 и по 7 тугриков. Назовите все суммы, которые можно набрать такими монетами.

Существует ли, как в предыдущих задачах, число, начиная с которого можно набрать любую сумму? Ответ нужно доказать.

Задача 13. У жителей одной страны монеты только двух типов: 3 мирана и 5 миранов. Докажите, что два жителя этой страны всегда могут расплатиться между собой, сколько бы один ни был должен другому (если, конечно, у них достаточно монет).

Сдачу, разумеется, давать можно.

Вопрос. А чем эта задача похожа на задачи про переливания?

Задача 14. (по мотивам одной олимпиадной задачи) Аппарат по размену денег сломался! Раньше он взамен одной 10-рублевой монеты выдавал две 5-рублевых. А теперь, если ему дать две любые одинаковые монеты (обе по 5 или обе по 10), он возвращает три другие монеты (соответственно, по 10 или по 5 рублей). А если дать три одинаковые монеты, он вернет две другие. За какое минимальное количество раз можно поменять у него 100 монет по 5 руб на 100 десяти-рублевых? А 5 монет по 5руб на 10 десяти-рублевых?

Задача 15. Когда Петя подходил к автомату, у него было 7 пяти-рублевых монет. После нескольких разменов он отошел от автомата, и опять у него были только пяти - рублевые монетки. Сколько их может теперь быть у Пети?

Эту задачу можно сделать игрой (с монетками, шариками или любой мелочевкой двух сортов). Ведущий - кассир "автомат" . Вначале у игроков - скажем, по 5 красных шариков. Задача игроков - за наименьшее число ходов добиться одинакового (любого) числа шаров; сделать нужное число (10,7) синих; и т.д. Решается не всегда!

Взвешивание монет

Это классическая серия задач, им по меньшей мере лет 150. Во всех задачах этой серии предполагается, что единственный Ваш инструмент – чашечные весы. Поэтому прежде чем задавать их, нужно убедиться, что дети понимают, что это такое. Объяснять можно на примере перекидных качелей – их уж видели практически все. Лучше всего, конечно, если такие весы есть в доме. Весы – вообще замечательная игрушка, но игрушечные весы, которые продаются в магазинах, на самом деле недостаточно точны и фиксируют только такую разницу, которая заметна и без них. Можно "играть" в весы – взрослый вручную опускает одну из чаш; в этом случае на роль весов годится любая палочка, например – карандаш.

Задача 16. Есть 3 монеты, одинаковые на вид. Известно, что одна из них одна фальшивая, она чуть-чуть легче других. Есть чашечные весы, но можно произвести на них не более 2 взвешиваний. Как определить, какая монета фальшивая?

Задача 17. То же самое для 5,6,8,9,10,12...монет. Сколько взвешиваний нужно, чтобы найти фальшивую монету?

Можно взглянуть на ту же задачу с другой стороны:

Задача 18. Сколько максимум монет можно взять, чтобы можно было найти единственную фальшивую за 3 (4,5) взвешивания?

Задача 19. То же,что в предыдущих задачах, но теперь заранее неизвестно, легче или тяжелее фальшивая монета - известно только, что она отличается по весу.

И, наконец, еще пара задачек – на самом деле они, пожалуй, даже легче предыдущей:

Задача 20. Есть 100 монет. Одна из них фальшивая, но неизвестно, какая. Как за 2 взвешивания узнать – тяжелее она остальных или легче? Саму монету находить не нужно, только узнать, в какую сторону отличается ее вес.

Задача 21. То же, что в предыдущей задаче – для произвольного числа монет.