Переливания и поджоги (уровни 1-3).

Основа этого раздела – это одна из классических серий старинных задач, которые В.И. Арнольд называл "купеческими" . Мы добавили к ним еще простые упражнения на состав числа и немножко обобщений – для старших.

Все задачи этого раздела несложны – они всегда решаются по принципу "если долго мучиться, что-нибудь получится" . Тут не нужно неожиданных догадок и не обязательны светлые идеи – даже если не знаешь, что делать, нужно "делать хоть что-нибудь" , и рано или поздно успех придет. Но, конечно, если все-таки думать и "делать что-нибудь" сознательно, он будет достигнут раньше.

Задачи на переливания хороши еще и тем, что в них можно "играть" , демонстрируя решение на практике. Особенно это удобно летом: желательный, особенно для маленьких, антураж – корыто с водой или водоем + несколько емкостей объемом в целое число условных единиц (стаканчиков). Их легко сделать, например, из пластиковых стаканов и бутылок. Удобно, если условная единица равна приблизительно 100 мл. Если она меньше – при переливаниях получаются очень большие погрешности, если больше – большие емкости оказываются неудобными для ребенка. Хорошо бы написать на каждом сосуде его емкость, чтоб не путаться.

У нас элементом антуража была еще баба Яга, которая давала добрым молодцам и красным девицам хозяйственные поручения.

Уровень 1

Задача 1. Бабе Яге для супа нужно набрать в кастрюлю ровно 5 (7,8,. . . ) стаканчиков. Но саму кастрюлю она детям не доверяет, а дает вместо этого несколько меньших по объему ведерок (емкости ведерок известны). Нужно принести в этих ведерках требуемое количество воды.

Это вполне наглядная задача на состав числа. В простейшем варианте набор ведерок должен быть достаточен, чтобы составить из них нужное количество стаканчиков (выливать воду в кастрюлю пока не нужно, Яга хочет все проверить). При этом в наборе могут встречаться ведерки одинаковой емкости. Ведерок должно быть больше, чем нужно, чтоб было из чего выбирать. Решения не обязаны быть однозначными – даже наоборот, есть повод обсудить разные варианты. Например: нужно 6 стаканов, а есть ведерки емкостями 1,2,2,3 и 4 стакана. Можно выяснить все способы решения и поговорить о том, какой способ сэкономит время (меньше всего ходок к колодцу, ведь у добра молодца только 2 руки), а какой – силы (не нужно таскать тяжелое ведро). Можно еще обсудить, что таскать ведра одинакового и почти одинакового веса легче, чем сильно отличающиеся.

Задача 2. Небольшое усложнение предыдущей задачи: кастрюля уже стоит на плите, принесенную воду можно выливать в нее, зато ведерок не хватает, так что приходится некоторые из них использовать по несколько раз.

Например: нужно 7 стаканов, а есть ведерки емкостями 2,3 и 6 стаканов. Усложнение здесь в том, что пропадает наглядность: вы уже не видите, сколько принесли, это приходится запоминать. В этой задаче тоже можно ставить дополнительное условие – сделать как можно меньше ходок к "колодцу".

И еще одна задача на состав числа – "обратная" к предыдущим:

Задача 3. Есть кастрюля с водой и набор ведерок. Определить, сколько стаканов воды в кастрюле. Выливать воду на землю – нельзя.

Например: в кастрюле на самом деле 9 стаканов, ведерки имеют емкости 4,3,3,2,2 или 5,3,2,2. Детям при выполнении этого задания, скорее всего, придется помогать – редко кто может аккуратно налить из кастрюли в "ведерко" воду, не пролив, да еще и ровно до края или до рисочки.

Уровень 2

Задача 4. Есть колодец (кран, река) и два ведерка емкостью, например, 2 и 5 стаканов. Яге нужно отмерить для супа ровно 3 стакана. Воду можно набирать из "колодца" и переливать из одного стакана в другой. Получилось 3 стакана? А 4 можно набрать? А теперь Яга велит для каши отмерить теми же ведерками 1 стакан.

Не торопитесь увеличивать сложность; начинать, как всегда, надо с самых простых задач. И не бойтесь попросить 8-летнего ребенка для начала отмерить 2 стакана, имея емкости в 3 и 1 стакан. По крайней мере, он поймет, что от него требуется, а задать следующий, более сложный вопрос Вы всегда успеете.

Когда эта задача решилась, можно брать другие пары ведерок: 3 и 5, 4 и 7, 5 и 9. . . Если емкости ведерок – взаимно простые числа, то есть не имеют общего делителя (например, 4 и 6 не годятся – они оба делятся на 2), то переливаниями можно получить любое число стаканчиков! (Но, разумеется, не больше, чем суммарный объем ведерок.) Так что "заказывать" можно любое число. Но сложность решения в зависимости от того, что Вы закажете, будет варьироваться. Например, если объемы ведерок 2 и 5, то получить 3 стакана – очень просто (одноходовка – одно переливание), 4 – чуточку сложнее (очень простая двухходовка), а 1 – еще посложнее (тоже двухходовка, но менее очевидная). Если увеличивать объемы стаканов, сложность, конечно, растет – появятся и трех-, и четырехходовки. Кстати, если дети решили задачу, но действовали не самым рациональным способом – они, конечно, все равно молодцы, хотя баба Яга может и поворчать, что неча, мол, туда-сюда столько раз переливать, можно и покороче.

Уровень 3.

На самом деле существует один общий алгоритм, т.е. универсальный способ действий, позволяющий решить любую такую задачу. Честно говоря, таких алгоритмов даже два: иногда эффективнее (быстрее) работает один, иногда другой – в зависимости от того, какое число стаканчиков нужно получить. Таким образом, если накоплен достаточный опыт решения задач с конкретными числами, естественно возникает задача 5.

Задача 5. Сформулировать алгоритм решения (а лучше оба). То есть объяснить Ивану-дураку, идущему к бабе Яге, как ему действовать, какие бы ведерки Яга ни дала, и сколько бы она ни велела отмерить.

Задачи на переливание иногда усложняют дополнительным условием – ограниченным количеством воды. То есть вместо бездонного колодца дают небольшой бочонок, в котором воды меньше, чем поместилось бы в оба имеющихся ведерка. При этом решение либо упрощается за счет дополнительного, третьего сосуда известной емкости, либо так же сводится к одному из двух алгоритмов. Надо только проверить, возможен ли этот алгоритм при имеющимся количестве воды. Поэтому мы в заключение этой темы поставим тот же вопрос немного по-другому:

Задача 6. Опять есть два ведерка, например, 8 и 5 стаканов, и бочонок с водой. Сколько минимум воды должно быть в бочонке, чтобы можно было отмерить, например, 2 стакана? А чтобы отмерить 4 стакана?

Те же задачи в другом антураже.

Такие же по сути задачи (но ведь это – если задавать не подряд – еще надо увидеть!) могут выглядеть как измерение длины или времени:

Задача 7. Есть две палки, одна длиной 30 см, другая - 70 см. Отмерить с их помощью длину 50 см.

Задача 8. Есть свечки (или фитили) двух типов, маленькие горят 4 часа (или минуты), большие – 9 часов. Отмерить с их помощью 7 часов.

И раз уж зашла речь о фитилях, приведем здесь еще одну – уже непохожую на предыдущие – задачку, или маленькую серию задач:

Задача 9. Есть веревки (бикфордовы шнуры), каждая из которых горит ровно 1 час. При этом они неоднородны по длине, то есть половина веревки совсем не обязательно горит полчаса. Отмерить с помощью таких веревок 2 часа – тривиально; а полтора? а 45 минут?